3584. Внутри треугольника ABC
взята точка M
. Докажите, что
AM\cdot BC+BM\cdot AC+CM\cdot AB\geqslant4S,
где S
— площадь треугольника ABC
.
Указание. Опустите перпендикуляры из точек B
и C
на прямую AM
и докажите, что S_{\triangle AMB}+S_{\triangle AMC}\leqslant\frac{1}{2}AM\cdot BC
.
Решение. Опустим из точек B
и C
перпендикуляры BB_{1}
и CC_{1}
на прямую AM
. Тогда
2S_{\triangle AMB}+2S_{\triangle AMC}=AM\cdot BB_{1}+AM\cdot CC_{1}=AM(BB_{1}+CC_{1})\leqslant AM\cdot BC.
Аналогично докажем, что
2S_{\triangle AMC}+2S_{\triangle BMC}\leqslant CM\cdot AB,~2S_{\triangle BMC}+2S_{\triangle BMA}\leqslant BM\cdot AC.
Сложив почленно эти неравенства, получим, что
4(S_{\triangle AMB}+S_{\triangle AMC}+S_{\triangle BMC})\leqslant AM\cdot BC+BM\cdot AC+CM\cdot AB.
Следовательно,
4S\leqslant AM\cdot BC+BM\cdot AC+CM\cdot AB.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 9.33, с. 230
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 9.35, с. 224