3585. Пусть h_{1}
, h_{2}
, h_{3}
— высоты треугольника, r
— радиус вписанной окружности. Докажите, что h_{1}+h_{2}+h_{3}\geqslant9r
.
Указание. Воспользуйтесь формулой S=pr
, где S
— площадь, а p
— полупериметр треугольника.
Решение. Пусть a
, b
, c
— стороны треугольника, соответствующие высотам h_{1}
, h_{2}
, h_{2}
; S
— площадь треугольника. Тогда
S=\frac{1}{2}ah_{1}=\frac{a+b+c}{2}r.
Поэтому
h_{1}=\left(1+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\right)r.
Аналогично
h_{2}=\left(1+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}\right)r,~h_{3}=\left(1+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right)r.
Следовательно,
h_{1}+h_{2}+h_{3}=\left(3+\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)+\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)\right)r\geqslant(3+2+2+2)r=9r.
Равенство достигается тогда и только тогда, когда a=b=c
, т. е. когда треугольник равносторонний.