3588. Пусть точка C
— середина дуги AB
некоторой окружности, а D
— любая другая точка этой дуги. Докажите, что AC+BC\gt AD+BD
.
Указание. На продолжении хорды AD
за точку D
отложите отрезок DB_{1}
, равный хорде DB
, и докажите, что прямая CD
делит угол BDB_{1}
пополам.
Решение. Пусть точка D
лежит на дуге BC
, не содержащей точки A
. На продолжении хорды AD
за точку D
отложим отрезок DB_{1}
, равный DB
. Пусть прямая CD
пересекает основание BB_{1}
равнобедренного треугольника BDB_{1}
в точке M
.
Обозначим \angle MDB_{1}=\alpha
. Тогда
\angle ADC=\alpha,~\angle CAB=\angle CBA=\angle CDA=\alpha,
\angle ADB=\angle ACB=180^{\circ}-2\alpha,~\angle BDB_{1}=180^{\circ}-\angle ADB=2\alpha.
Следовательно, DM
— биссектриса равнобедренного треугольника BDB_{1}
. Поэтому CM
— серединный перпендикуляр к отрезку BB_{1}
. Тогда CB_{1}=CB
. Следовательно,
AC+BC=AC+CB_{1}\gt AB_{1}=AD+DB_{1}=AD+DB.