3590. При каком значении высоты прямоугольная трапеция с острым углом 30^{\circ}
и периметром 6 имеет наибольшую площадь?
Ответ. При h=1
.
Указание. Примените неравенство Коши: \frac{a+b}{2}\geqslant\sqrt{ab}
.
Решение. Пусть высота трапеции равна h
, а сумма оснований равна 3x
. Тогда средняя линия трапеции равна \frac{3x}{2}
, большая боковая сторона равна 2h
, а периметр равен 3x+3h=6
. Значит, x+h=2
.
Пусть S(h)
— площадь трапеции. Тогда
S(h)=\frac{3x}{2}\cdot h=\frac{3}{2}xh\leqslant\frac{3}{2}\left(\frac{x+h}{2}\right)^{2}=\frac{3}{2}\left(\frac{2}{2}\right)^{2}=\frac{3}{2},
причём равенство достигается при h=x=1
.