3591. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна h
. Какую наименьшую длину может иметь медиана, проведённая из вершины большего острого угла?
Ответ. \frac{3h}{2}
.
Указание. Пусть x
— проекция меньшего катета на гипотенузу. Выразите квадрат указанной медианы через x
и h
.
Решение. Пусть CD=h
— высота прямоугольного треугольника ABC
с прямым углом C
. Обозначим AD=x
. Тогда
DB=\frac{CD^{2}}{AD}=\frac{h^{2}}{x},~AC^{2}=h^{2}+x^{2},~BC^{2}=h^{2}+\frac{h^{4}}{x^{2}}.
Если M
— середина большего катета BC
, то
AM^{2}=AC^{2}+CM^{2}=h^{2}+x^{2}+\frac{1}{4}\left(h^{2}+\frac{h^{4}}{x^{2}}\right)=
=\frac{1}{4}\left(4x^{2}+5h^{2}+\frac{h^{4}}{x^{2}}\right)=\frac{5h^{2}}{4}+\frac{1}{4}\left(4x^{2}+\frac{h^{4}}{x^{2}}\right)\geqslant
\geqslant\frac{5h^{2}}{4}+\frac{1}{4}\cdot2\sqrt{4x^{2}\cdot\frac{h^{4}}{x^{2}}}=\frac{5h^{2}}{4}+h^{2}=\frac{9h^{2}}{4},
причём равенство достигается, когда 4x^{2}=\frac{h^{4}}{x^{2}}
, т. е. при x=\frac{h}{\sqrt{2}}
. В этом случае BD=\frac{h^{2}}{x}=h\sqrt{2}
, т. е. BD\gt AD
и BC\gt AC
. Следовательно, BC
— больший катет.