3593. В некотором царстве, в некотором государстве есть несколько городов, причём расстояния между ними все попарно различны. В одно прекрасное утро из каждого города вылетает по одному самолёту, который приземляется в ближайшем соседнем городе. Может ли в одном городе приземлиться более пяти самолётов?
Ответ. Нет.
Указание. Наибольший угол треугольника не меньше 60^{\circ}
.
Решение. Допустим, что в городе P
приземлится, например, 6 самолётов, вылетевших из городов A_{1}
, A_{2}
, …, A_{6}
, и точки A_{1}
, A_{2}
, …, A_{6}
— последовательные вершины шестиугольника. Поскольку расстояние между городами A_{1}
и A_{2}
должно быть больше, чем расстояние от каждого из них до города P
, то \angle A_{1}PA_{2}\gt60^{\circ}
. Аналогично углы A_{2}PA_{3}
, A_{3}PA_{4}
, A_{4}PA_{5}
, A_{5}PA_{6}
, A_{6}PA_{1}
больше 60^{\circ}
. Но тогда полный угол при точке P
будет превосходить 360^{\circ}
, что невозможно.
Источник: Всесибирская физико-математическая олимпиада. — 1963
Источник: Журнал «Квант». — 1970, № 8, с. 57
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 20.3, с. 407