3595. Две высоты треугольника равны 10 и 6. Докажите, что третья высота меньше 15.
Указание. Если стороны треугольника равны a
, b
и c
, а соответствующие высоты — h_{a}
, h_{b}
и h_{c}
, то ah_{a}=bh_{b}=ch_{c}
и b-a\lt c
.
Решение. Обозначим стороны треугольника через a
, b
и c
, а соответствующие высоты — h_{a}
, h_{b}
и h_{c}
. Пусть h_{a}=10
, h_{b}=6
. Докажем, что h_{c}\lt15
.
Поскольку ah_{a}=bh_{b}=ch_{c}
, то
b=\frac{ah_{a}}{h_{b}}=\frac{5a}{3},~h_{c}=\frac{ah_{a}}{c}=\frac{10a}{c}.
Стороны треугольника связаны неравенством b-a\lt c
, или \frac{5a}{3}-a\lt c
. Отсюда находим, что \frac{a}{c}\lt\frac{3}{2}
. Следовательно,
h_{c}=\frac{10a}{c}\lt10\cdot\frac{3}{2}=15.