3596. Найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин данного выпуклого четырёхугольника минимальна.
Ответ. Точка пересечения диагоналей.
Указание. Примените неравенство треугольника.
Решение. Пусть M
— точка пересечения диагоналей AC
и BD
выпуклого четырёхугольника ABCD
. Тогда для произвольной точки K
верны следующие неравенства:
AK+KC\geqslant AC,~BK+KD\geqslant BD.
Поэтому
KA+KC+KB+KD\geqslant AC+BD=MA+MC+MB+MD,
причём равенство достигается только в том случае, когда точка K
совпадает с M
.