3597. Среди всех четырёхугольников с данными диагоналями и данным углом между ними найдите четырёхугольник наименьшего периметра.
Указание. Если K
и M
— образы вершины D
четырёхугольника ABCD
при параллельных переносах на векторы \overrightarrow{BC}
и \overrightarrow{BA}
соответственно, то четырёхугольник ACKM
— параллелограмм.
Решение. Пусть диагонали AC
и BD
четырёхугольника ABCD
равны соответственно a
и b
, а угол между ними равен \alpha
. При параллельном переносе на вектор \overrightarrow{BA}
диагональ BD
переходит в отрезок AM
; при параллельном переносе на вектор \overrightarrow{BC}
диагональ BD
переходит в отрезок CK
. Тогда четырёхугольник ACKM
— параллелограмм со сторонами a
и b
и углом \alpha
между ними. Если N
— точка пересечения диагоналей AK
и CM
этого параллелограмма, то
AB+BC+CD+AD=DM+DK+CD+AD=
=(DM+CD)+(DK+AD)\geqslant CM+AK=NC+NM+NA+NK.
Следовательно, вершина D
искомого четырёхугольника ABCD
минимального периметра должна совпасть с точкой N
.
Параллелограмм ACKM
можно построить по двум сторонам и углу между ними. Вершина D
искомого четырёхугольника есть точка пересечения диагоналей этого параллелограмма, а четвёртая вершина B
— образ точки D
при параллельном переносе на вектор \overrightarrow{KC}
.