3598. Каждая сторона выпуклого четырёхугольника меньше a
. Докажите, что его площадь меньше a^{2}
.
Указание. Если ABCD
— выпуклый четырёхугольник, то
2S_{ABCD}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ABC}+S_{\triangle BCD}+S_{\triangle ADC}.
Решение. Пусть \alpha
, \beta
, \gamma
, \delta
— соответствующие углы выпуклого четырёхугольника ABCD
. Тогда
2S_{ABCD}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ABC}+S_{\triangle BCD}+S_{\triangle ADC}=
=\frac{1}{2}AD\cdot AB\sin\alpha+\frac{1}{2}AB\cdot BC\sin\beta+\frac{1}{2}BC\cdot CD\sin\gamma+\frac{1}{2}CD\cdot AD\sin\delta\leqslant
\leqslant\frac{1}{2}(AD\cdot AB+AB\cdot BC+BC\cdot CD+CD\cdot AD)\lt
\lt\frac{1}{2}(a^{2}+a^{2}+a^{2}+a^{2})=2a^{2}.
Следовательно, S_{ABCD}\lt a^{2}
.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 16.036, с. 349