3600. Точка M
лежит на стороне AC
остроугольного треугольника ABC
. Вокруг треугольников ABM
и CBM
описываются окружности. При каком положении точки M
площадь общей части ограниченных ими кругов будет наименьшей?
Ответ. Точка M
— основание высоты треугольника ABC
.
Указание. Углы, под которыми отрезок BM
виден из центров окружностей, имеют постоянную величину.
Решение. Пусть O
и O_{1}
— центры описанных окружностей треугольников ABM
и CBM
. Общей частью указанных кругов является объединение двух сегментов с общей хордой BM
.
Поскольку
\angle BOM=2\angle BAC,~\angle BO_{1}M=2\angle BCA,
то величины углов BOM
и BO_{1}M
постоянны. Поэтому площадь каждого из сегментов тем меньше, чем меньше хорда BM
. Следовательно, площадь общей части кругов минимальна, когда BM
— высота треугольника ABC
.
Автор: Долматов С.
Источник: Журнал «Квант». — 1986, № 11, с. 50, задача 3
Источник: Всесоюзная олимпиада по математике. — 1986, XX, 8 класс