3603. Высота треугольника в два раза меньше его основания, а один из углов при основании равен 75^{\circ}
. Докажите, что треугольник равнобедренный.
Указание. Докажите, что AC=BC
, используя метод «от противного».
Решение. Пусть в треугольнике ABC
угол BAC
равен 75^{\circ}
, а высота BN
вдвое меньше стороны AC
. Докажем, что BC=AC
.
Предположим, что BC\lt AC
. Тогда
\angle ABC\gt75^{\circ},~\angle ACB\lt30^{\circ},~BN\lt\frac{1}{2}BC\lt\frac{1}{2}AC,
что противоречит условию. Аналогично докажем, что BC
не может быть больше AC
.
Источник: Журнал «Квант». — 1984, № 8, с. 39, задача 2
Источник: Шень А. Х. Геометрия в задачах. — М.: МЦНМО, 2013. — № 272, с. 84
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 12.54, с. 305
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 12.56, с. 293
Источник: Готман Э. Г., Скопец З. А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9—10 кл. — М.: Просвещение, 1979. — № 315, с. 49