3606. Треугольники ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
таковы, что AB=A_{1}B_{1}
, AC=A_{1}C_{1}
, а \angle A\gt\angle A_{1}
. Докажите, что BC\gt B_{1}C_{1}
.
Решение. Первый способ. Поскольку \angle A\gt\angle A_{1}
, а величина каждого из этих углов между 0^{\circ}
и 180^{\circ}
, то \cos\angle A\lt\cos\angle A_{1}
. По теореме косинусов
BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2AB\cdot AC\cos\angle A=
=A_{1}B^{2}_{1}+A_{1}C^{2}_{1}-2A_{1}B_{1}\cdot A_{1}C_{1}\cos\angle A\gt
\gt A_{1}B^{2}_{1}+A_{1}C^{2}_{1}-2A_{1}B_{1}\cdot A_{1}C_{1}\cos\angle A_{1}\gt B_{1}C^{2}_{1}.
Следовательно, BC\gt B_{1}C_{1}
.
Второй способ. Рассмотрим такую точку D
, чтобы треугольник ABD
был равен треугольнику A_{1}B_{1}C_{1}
, а точки D
и C
были бы расположены по одну сторону от прямой AB
. Тогда, так как \angle BAC\gt\angle B_{1}A_{1}C_{1}=\angle BAD
, то луч AD
будет расположен между лучами AB
и AC
.
Проведём биссектрису AM
угла CAD
. Она также будет расположена между сторонами угла BAC
, поэтому точка E
её пересечения с прямой BC
будет расположена между точками B
и C
.
Треугольники ADE
и ACE
равны по двум сторонам и углу между ними, значит, DE=CE
. Применяя неравенство треугольника к треугольнику BDE
, получим, что
BC=BE+EC=BE+DE\gt BD=B_{1}C_{1}.
Третий способ. Сначала докажем следующее вспомогательное утверждение. Если точка P
лежит на стороне BC
треугольника ABC
и не совпадает с точками B
и C
, то AP
меньше наибольшей из сторон AB
и AC
.
Действительно, один из углов APC
и APB
не меньше 90^{\circ}
, значит, в одном из треугольников APC
и BPC
против этого угла лежит наибольшая сторона. Отсюда следует сформулированное утверждение.
Пусть о треугольниках ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
известно, что
AB=A_{1}B_{1},~AC=A_{1}C_{1},~\angle A\gt\angle A_{1}.
Предположим, что AC\geqslant AB
. Отложим от луча AB
в полуплоскости, содержащей точку C
, луч, образующий с лучом AB
угол, равный углу A_{1}
. Поскольку \angle A_{1}\lt\angle A
, то отложенный луч проходит между сторонами угла BAC
, значит, он пересекает отрезок BC
в некоторой точке P
. На луче AP
отложим отрезок AD
, равный A_{1}C_{1}
. Тогда луч DA
проходит между сторонами угла BDC
.
Из доказанного ранее следует, что AP\lt AC=A_{1}C_{1}=AD
, поэтому точка P
лежит на отрезке AD
. Это означает, что луч CB
проходит между сторонами угла ACD
. Тогда,
\angle BCD\lt\angle ACD=\angle ADC\lt\angle BDC.
Значит, в треугольнике BCD
сторона BC
, лежащая против угла BDC
, больше стороны BD
, лежащей против угла BCD
, а так как треугольники ABD
и A_{1}B_{1}C_{1}
равны по двум сторонам и углу между ними, то BD=B_{1}C_{1}
. Следовательно,
BC\gt BD=B_{1}C_{1}.
Примечание. Докажем обратное утверждение, т. е., если треугольники ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
таковы, что AB=A_{1}B_{1}
, AC=AC_{1}
, а BC\gt B_{1}C_{1}
, то \angle A\gt\angle A_{1}
.
Допустим, что при данных условиях \angle A\leqslant\angle A_{1}
. Если \angle A\lt\angle A_{1}
, то по ранее доказанному BC\lt B_{1}C_{1}
. Если же \angle A=\angle A_{1}
, то из первого признака равенства треугольников следует, что BC=B_{1}C_{1}
.