3607. Перпендикуляр к боковой стороне AB
трапеции ABCD
, проходящий через её середину K
, пересекает сторону CD
в точке L
. Известно, что площадь четырёхугольника AKLD
в пять раз больше площади четырёхугольника BKLC
, CL=3
, DL=15
, KC=4
. Найдите длину отрезка KD
.
Ответ. 20.
Указание. Если CP
и DQ
— высоты треугольников CBK
и DAK
, то прямоугольные треугольники CPK
и KQD
подобны с коэффициентом \frac{1}{5}
.
Решение. Заметим, что \frac{S_{\triangle CKL}}{S_{\triangle DKL}}=\frac{CL}{LD}=\frac{1}{5}
. Поскольку при этом \frac{S_{BKLC}}{S_{AKLD}}=\frac{1}{5}
, то \frac{S_{\triangle CBK}}{S_{\triangle DAK}}=\frac{1}{5}
.
Пусть CP
и DQ
— высоты треугольников CBK
и DAK
. Так как BK=AK
, то CP:DQ=1:5
.
По теореме о пропорциональных отрезках PK:KQ=CL:LD=1:5
, поэтому прямоугольные треугольники CPK
и KQD
подобны. Следовательно, CK:KD=1:5
, откуда KD=5CK=5\cdot4=20
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 2000 (март), вариант 1, № 4
Источник: Вступительные экзамены и олимпиады по математике 2000—2002 гг. / Под общ. ред. И. Н. Сергеева. — М.: Изд-во ЦПИ при мехмате МГУ, 2003. — 2000, вариант 1, № 4, с. 3