3615. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на его гипотенузу, делит биссектрису острого угла в отношении 4:3
, считая от вершины. Найдите величину этого угла.
Ответ. \arccos\frac{4}{7}
.
Указание. Пусть высота CD
, проведённая из вершины C
прямого угла прямоугольного треугольника ABC
, пересекает биссектрису AK
угла BAC
в точке O
. Прямоугольные треугольники DAO
и KAC
подобны по двум углам.
Решение. Пусть высота CD
, проведённая из вершины C
прямого угла прямоугольного треугольника ABC
, пересекает биссектрису AK
угла BAC
в точке O
. Прямоугольные треугольники DAO
и CAK
подобны по двум углам, следовательно,
\cos\angle CAB=\frac{AD}{AC}=\frac{AO}{AK}=\frac{4}{7}.