3619. Две окружности с центрами O
и Q
, пересекающиеся друг с другом в точках A
и B
, пересекают биссектрису угла OAQ
в точках C
и D
соответственно. Отрезки AD
и OQ
пересекаются в точке E
, причём площади треугольников OAE
и QAE
равны 18 и 42 соответственно. Найдите площадь четырёхугольника OAQD
и отношение BC:BD
.
Ответ. 200; 3:7
.
Указание. Треугольник DEQ
подобен треугольнику AEO
. Треугольник BCD
подобен треугольнику AOQ
.
Решение. Заметим, что
\frac{EQ}{EO}=\frac{S_{\triangle QAE}}{S_{\triangle OAE}}=\frac{42}{18}=\frac{7}{3}.
Треугольник AQD
— равнобедренный, поэтому \angle OAD=\angle QAD=\angle QDA
. Значит, QD\parallel OA
, поэтому треугольник DEQ
подобен треугольнику AEO
, причём коэффициент подобия равен \frac{EQ}{EO}=\frac{7}{3}
. Тогда
S_{\triangle DEQ}=\frac{49}{9}S_{\triangle AEO}=\frac{49}{9}\cdot18=98.
Поскольку \frac{S_{\triangle QDE}}{S_{\triangle ODE}}=\frac{7}{3}
, то
S_{\triangle ODE}=\frac{3}{7}S_{\triangle QDE}=\frac{3}{7}\cdot98=42.
Следовательно,
S_{OAQD}=S_{\triangle QAE}+S_{\triangle OAE}+S_{\triangle QAE}+S_{\triangle ODE}+S_{\triangle QDE}=42+18+42+98=200.
Угол ADB
вписан в окружность с центром Q
и опирается на дугу AB
, не содержащую точки D
, а угол AQO
равен половине центрального угла, соответствующего той же дуге, поэтому \angle ADB=\angle AQO
.
Угол ACB
вписан в окружность с центром O
и опирается на дугу AB
, лежащую вне окружности с центром Q
, а угол AOQ
равен половине центрального угла, соответствующего дополнительной дуге, поэтому \angle ACB=180^{\circ}-\angle AOQ
. Тогда \angle BCD=180^{\circ}-\angle ACB=\angle AOQ
.
Из доказанных равенств углов следует подобие треугольников BCD
и AOQ
. Следовательно, BC:BD=AO:AQ
. По свойству биссектрисы треугольника AO:AQ=EO:EQ=3:7
. Таким образом, BC:BD=3:7
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 2001 (май), вариант 1, № 3
Источник: Вступительные экзамены и олимпиады по математике 2000—2002 гг. / Под общ. ред. И. Н. Сергеева. — М.: Изд-во ЦПИ при мехмате МГУ, 2003. — с. 49