3626. Точка M
лежит на боковой стороне CD
трапеции ABCD
. Известно, что \angle BCD=\angle CBD=\angle ABM=\arccos\frac{5}{6}
и AB=9
. Найдите BM
.
Ответ. 15
.
Указание. Докажите подобие треугольников ABD
и MBC
.
Решение. Пусть DH
— высота трапеции. Поскольку треугольник BDC
— равнобедренный, то H
— середина BC
. Из равенства углов \angle ABM
и \angle CBD
следует равенство углов \angle ABD
и \angle CBM
. Из параллельности прямых AD
и BC
следует, что \angle ADB=\angle DBC=\angle DCB
. Поэтому треугольники ABD
и MBC
подобны по двум углам. Значит,
\frac{BM}{AB}=\frac{BC}{BD}=\frac{2HB}{BD}=2\cdot\frac{HB}{BD}=2\cos\angle DBH=2\cdot\frac{5}{6}=\frac{5}{3},
откуда находим, что BM=\frac{5}{3}AB=\frac{5}{3}\cdot9=15
.