3631. Четырёхугольник KLMN
вписан в окружность. Точка P
лежит на его стороне KL
, причём PM\parallel KN
и PN\parallel LM
. Найдите длины отрезков KP
и LP
, если MN=6
и KL=13
.
Ответ. 9 и 4.
Решение. Обозначим
\angle NKP=\angle MPL=\alpha,~\angle KNP=\angle NPM=\angle PML=\beta,
\angle MLP=\angle NPK=\gamma.
Четырёхугольник KLMN
— вписанный, поэтому
\angle LMN=180^{\circ}-\angle NKL=180^{\circ}-\alpha,
\angle PMN=\angle LMN-\angle PML=180^{\circ}-\alpha-\beta=\gamma.
Значит, треугольники KNP
, NPM
и PML
подобны.
Обозначим PL=x
. Тогда KP=13-x
, а так как
\frac{KP}{MN}=\frac{NP}{MP}~\mbox{и}~\frac{PL}{MN}=\frac{MP}{NP},
то
\frac{13-x}{6}=\frac{NP}{MP}~\mbox{и}~\frac{x}{6}=\frac{MP}{NP}.
Перемножив эти равенства, получим, что \frac{(13-x)x}{36}=1
, или x^{2}-13x+36=0
, откуда x=9
или x=4
. Следовательно, PL=9
, KP=4
или PL=4
, KP=9
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 2002 (июль), вариант 2, № 4
Источник: Вступительные экзамены и олимпиады по математике 2000—2002 гг. / Под общ. ред. И. Н. Сергеева. — М.: Изд-во ЦПИ при мехмате МГУ, 2003. — с. 95
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 14.42.2, с. 151