3632. Пятиугольник ABCDE
вписан в окружность. Найдите её длину, если BC=CE
, площадь треугольника ADE
равна площади треугольника CDE
, площадь треугольника ABC
равна площади треугольника BCD
, а 3AC+2BD=5\sqrt{5}
.
Ответ. \pi\sqrt{5}
.
Указание. Докажите, что AC
— диаметр окружности.
Решение. Поскольку DE
— общее основание равновеликих треугольников ADE
и CDE
, то их высоты, опущенные из вершин A
и C
, равны, поэтому AC\parallel DE
. Аналогично BC\parallel AD
. Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны, поэтому
\angle ACE=\angle ADE=\angle CAD=\angle DBC=\angle ACB.
Значит, CA
— биссектриса угла BCE
и AB=AE
, а прямая AC
— серединный перпендикуляр к хорде BE
. Следовательно, отрезок AC
— диаметр окружности, а четырёхугольник ABCD
— прямоугольник. Поэтому AC=BD
и по условию задачи
3AC+2BD=5CD=5\sqrt{5}.
Значит, диаметр окружности равен \sqrt{5}
, а её длина равна \pi\sqrt{5}
.