3640. В треугольнике ABC
биссектрисы углов при вершинах A
и C
пересекаются в точке D
. Найдите радиус описанной около треугольника ABC
окружности, если радиус окружности с центром в точке O
, описанной около треугольника ADC
, равен R=6
, и \angle ACO=30^{\circ}
.
Ответ. 6.
Указание. Докажите, что \angle ADC=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle B
.
Решение. Поскольку
\angle BAC+\angle ACB=180^{\circ}-\angle B,
то
\angle DAC+\angle ACD=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle B.
Поэтому
\angle ADC=180^{\circ}-\left(90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle B\right)=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle B\gt90^{\circ}-\angle B,
т. е. угол ADC
— тупой. Поэтому точки D
и O
лежат по разные стороны от прямой AC
.
Из равнобедренного треугольника AOC
находим, что
AC=2OC\cos30^{\circ}=2R\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}.
Поскольку \angle AOC
— центральный угол окружности с центром O
и \angle AOC=120^{\circ}
, то вписанный в эту окружность \angle ADC
равен половине дуги AC
, не содержащей точку D
, т. е. \angle ADC=\frac{1}{2}\cdot240^{\circ}=120^{\circ}
.
Из равенства \angle ADC=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle B
находим, что
\angle B=2(\angle ADC-90^{\circ})=2(120^{\circ}-90^{\circ})=60^{\circ}.
Пусть r
— искомый радиус окружности, описанной около треугольника ABC
. По теореме синусов
r=\frac{AC}{2\sin\angle B}=\frac{6\sqrt{3}}{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}=6.