3642. Из точки C
проведены две касательные к окружности. Точки A
и B
— точки касания. На окружности взята произвольная точка M
, отличная от A
и B
. Из точки M
опущены перпендикуляры MN
, ME
, MD
на стороны AB
, BC
, CA
соответственно. Найдите площадь треугольника MNE
, если известны стороны MN=4
, MD=2
и угол \angle ACB=120^{\circ}
.
Ответ. 8.
Указание. Треугольники MND
и MEN
подобны.
Решение. Докажем сначала, что треугольники MND
и MEN
подобны. Действительно, из точек E
и N
отрезок BM
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром BM
. Аналогично докажем, что точки D
и N
лежат на окружности с диаметром AM
. Поэтому
\angle MEN=\angle MBN=\angle DAM=\angle DNM.
(Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны; угол между касательной и хордой равен половине угловой величины дуги, заключённой между ними.)
Аналогично \angle MNE=\angle MDN
. Следовательно, треугольники MND
и MEN
подобны по двум углам. Из пропорции \frac{MN}{MD}=\frac{ME}{MN}
находим, что
ME=\frac{MN^{2}}{MD}=\frac{16}{2}=8.
Поскольку треугольник ABC
равнобедренный (AC=BC
как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки), то
\angle CBA=\angle CAB=30^{\circ}.
Точка M
лежит внутри треугольника ABC
(по условию задачи её проекции лежат на сторонах треугольника), поэтому
\angle EMN=180^{\circ}-\angle CBA=180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ}.
Следовательно,
S_{\triangle MNE}=\frac{1}{2}ME\cdot MN\cdot\sin\angle EMN=\frac{1}{2}\cdot8\cdot4\sin150^{\circ}=8.
Источник: Вступительный экзамен на химический факультет МГУ. — 2002 (июль), вариант 1, № 5
Источник: Вступительные экзамены и олимпиады по математике 2000—2002 гг. / Под общ. ред. И. Н. Сергеева. — М.: Изд-во ЦПИ при мехмате МГУ, 2003. — с. 128