3650. Окружность проходит через вершины A
и B
треугольника ABC
и касается прямой AC
в точке A
. Найдите радиус окружности, если \angle BAC=\alpha
, \angle ABC=\beta
и площадь треугольника ABC
равна S
.
Ответ. \sqrt{\frac{S\sin(\alpha+\beta)}{2\sin^{3}\alpha\sin\beta}}
.
Указание. Пусть D
— точка пересечения данной окружности со стороной BC
. Зная площадь треугольника ABC
, найдите AB
с помощью теоремы синусов. Затем докажите, что \angle ADB=180^{\circ}-\alpha
.
Решение. Пусть D
— точка пересечения данной окружности с прямой BC
. Обозначим AB=c
, BC=a
. Применяя теорему синусов к треугольнику ABC
, получим пропорцию
\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{c}{\sin(180^{\circ}-\alpha-\beta)}=\frac{c}{\sin(\alpha+\beta)},
откуда a=\frac{c\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}
.
Тогда
S=S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ac\sin\beta=\frac{c^{2}\sin\alpha\sin\beta}{2\sin(\alpha+\beta)},
откуда находим, что c=\sqrt{\frac{2S\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha\sin\beta}}
.
По теореме об угле между касательной и хордой находим, что либо \angle ADB=\angle BAC=\alpha
(рис. 1), либо \angle ADB=180^{\circ}-\angle BAC=180^{\circ}-\alpha
(рис. 2). В обоих случаях \sin\angle ADB=\sin\alpha
.
Пусть R
— искомый радиус окружности, описанной около треугольника ABD
. Тогда
R=\frac{AB}{2\sin\angle ADB}=\frac{c}{2\sin\alpha}=\sqrt{\frac{S\sin(\alpha+\beta)}{2\sin^{3}\alpha\sin\beta}}.
Источник: Вступительный экзамен на биологический факультет МГУ. — 2002 (май), вариант 1, № 3
Источник: Вступительные экзамены и олимпиады по математике 2000—2002 гг. / Под общ. ред. И. Н. Сергеева. — М.: Изд-во ЦПИ при мехмате МГУ, 2003. — с. 162