3651. Через вершины B
и C
треугольника ABC
проведена окружность, которая пересекает сторону AB
в точке K
и сторону AC
в точке L
. Найдите AB
, если AK=KB
, AL=l
, \angle BCK=\alpha
, \angle CBL=\beta
.
Ответ. \frac{l}{2\sin\alpha}\left(\sin\beta+\sqrt{8\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\beta}\right)
.
Указание. Если R
— радиус окружности, то R=\frac{BK}{2\sin\angle BCK}=\frac{CL}{2\sin\angle CBL}
. Далее AK\cdot AB=AL\cdot AC
.
Решение. Пусть R
— радиус окружности. Обозначим AK=KB=x
. Тогда
R=\frac{BK}{2\sin\angle BCK}=\frac{CL}{2\sin\angle CBL},
или \frac{x}{2\sin\alpha}=\frac{CL}{2\sin\beta}
, откуда находим, что CL=\frac{x\sin\beta}{\sin\alpha}
.
По следствию из теоремы о касательной и секущей AK\cdot AB=AL\cdot AC
, или 2x^{2}=l\left(l+\frac{x\sin\beta}{\sin\alpha}\right)
, или
2x^{2}-\frac{xl\sin\beta}{\sin\alpha}-l^{2}=0.
Условию задачи удовлетворяет положительный корень этого квадратного уравнения:
x=\frac{1}{4}\left(\frac{l\sin\beta}{\sin\alpha}+\sqrt{\frac{l^{2}\sin^{2}\beta}{\sin^{2}\alpha}+8l^{2}}\right)=\frac{l}{4\sin\alpha}\left(\sin\beta+\sqrt{8\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\beta}\right).
Следовательно, AB=2x=\frac{l}{2\sin\alpha}\left(\sin\beta+\sqrt{8\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\beta}\right)
.