3658. В равнобедренной трапеции средняя линия равна m
, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите площадь этой трапеции.
Ответ. m^{2}
.
Указание. Проекция диагонали равнобедренной трапеции на большее основание равна средней линии трапеции.
Решение. Через вершину C
меньшего основания BC
данной равнобедренной трапеции ABCD
проведём прямую, параллельную диагонали BD
, до пересечения с продолжением основания AD
в точке E
. Тогда ACE
— равнобедренный прямоугольный треугольник. Его площадь равна площади данной трапеции, основание AE
— сумме оснований трапеции, т. е. удвоенной средней линии, а так как \angle CAD=45^{\circ}
, то высота CH
равна отрезку AH
, который по свойству равнобедренной трапеции равен её средней линии. Следовательно,
S_{ABCD}=S_{\triangle ACE}=\frac{1}{2}AE\cdot CH=\frac{1}{2}\cdot2m\cdot m=m^{2}.