3660. В треугольнике ABC
стороны AB
и BC
равны между собой, AC=2
, а \angle ACB=30^{\circ}
. Из вершины A
к боковой стороне BC
проведены биссектриса AE
и медиана AD
. Найдите площадь треугольника ADE
.
Ответ. \frac{2\sqrt{3}-3}{6}
.
Указание. Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
Решение. Пусть BH
— высота данного треугольника, M
— проекция точки D
на основание. Тогда
BH=HC\tg\angle BCA=\frac{\sqrt{3}}{3},~AB=BC=2BH=\frac{2\sqrt{3}}{3},~S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BH=\frac{\sqrt{3}}{3}.
По свойству биссектрисы треугольника \frac{BE}{EC}=\frac{AB}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{3}
, поэтому
\frac{BE}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+3}=\frac{1}{\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{3}-1}{2},
а так как BC=2BD
, то \frac{BE}{BD}=\sqrt{3}-1
. Следовательно,
S_{\triangle ABE}=\frac{BE}{BD}\cdot S_{\triangle ABD}=\frac{BE}{BD}\cdot\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=(\sqrt{3}-1)\cdot\frac{\sqrt{3}}{6}=\frac{3-\sqrt{3}}{6},
S_{\triangle ADE}=S_{\triangle ABD}-S_{\triangle ABE}=\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{3-\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}-3}{6}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет почвоведения МГУ. — 2001 (июль), вариант 1, № 4
Источник: Вступительные экзамены и олимпиады по математике 2000—2002 гг. / Под общ. ред. И. Н. Сергеева. — М.: Изд-во ЦПИ при мехмате МГУ, 2003. — с. 188