3661. В треугольнике ABC
угол ABC
равен 90^{\circ}
, AB=BC=2
. На основании AC
взяты точки K
и L
так, что три угла между BA
и BK
, BK
и BL
, BL
и BC
соответственно равны между собой. Найдите длину отрезка BK
.
Ответ. 2(\sqrt{3}-1)
.
Указание. Пусть BM
— высота (и биссектриса) треугольника ABC
. Тогда BK=\frac{BM}{\cos15^{\circ}}
.
Решение. Пусть точка K
лежит между A
и L
. Тогда \angle ABK=\angle KBL=\angle LBC=30^{\circ}
. Если BM
— высота (и биссектриса) треугольника ABC
, то BM=\sqrt{2}
, а \angle KBM=15^{\circ}
. Следовательно,
BK=\frac{BM}{\cos\angle KBM}=\frac{\sqrt{2}}{\cos15^{\circ}}=\frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}=\frac{4}{\sqrt{3}+1}=2(\sqrt{3}-1).