3665. Внутри прямоугольного треугольника помещены две окружности одинакового радиуса, каждая из которых касается одного из катетов, гипотенузы и другой окружности. Найдите радиусы этих окружностей, если катеты треугольника равны a
и b
.
Ответ. \frac{ab\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{(a+b)(a+b+\sqrt{a^{2}+b^{2}})}
.
Указание. Пусть \angle BAC=\alpha
, \angle ABC=\beta
— острые углы данного треугольника. Выразите гипотенузу через искомый радиус и тригонометрические функции углов \frac{\alpha}{2}
и \frac{\beta}{2}
.
Решение. Пусть окружности радиусов r
с центрами O_{1}
и O_{2}
касаются гипотенузы AB
соответственно в точках M
и N
, BC=a
, AC=b
и при этом окружность с центром O_{1}
вписана в угол BAC
. Обозначим AB=c
, \angle BAC=\alpha
, \angle ABC=\beta
. Тогда
\sin\alpha=\frac{a}{c},~\cos\alpha=\frac{b}{c},~\sin\beta=\frac{b}{c},~\cos\beta=\frac{a}{c},
\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{a}{b+c},~\tg\frac{\beta}{2}=\frac{\sin\beta}{1+\cos\beta}=\frac{b}{a+c},
AM=\frac{O_{1}M}{\tg\frac{\alpha}{2}}=\frac{r(b+c)}{a},~BM=\frac{O_{2}N}{\tg\frac{\beta}{2}}=\frac{r(a+c)}{b}.
Поскольку c=AB=AM+MN+NB
и MN=O_{1}O_{2}=2r
, то имеем уравнение
\frac{r(b+c)}{a}+2r+\frac{r(a+c)}{b}=c,
откуда находим, что
r=\frac{c}{2+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}}=\frac{abc}{2ab+b^{2}+bc+a^{2}+ac}=\frac{abc}{(a+b)^{2}+c(a+b)}=
=\frac{abc}{(a+b)(a+b+c)}=\frac{ab\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{(a+b)(a+b+\sqrt{a^{2}+b^{2}})}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет почвоведения МГУ. — 2002 (июль), вариант 2, № 6
Источник: Вступительные экзамены и олимпиады по математике 2000—2002 гг. / Под общ. ред. И. Н. Сергеева. — М.: Изд-во ЦПИ при мехмате МГУ, 2003. — с. 201