3666. В треугольнике ABC
на сторонах AB
и BC
отмечены точки M
и N
соответственно, причём BM=BN
. Через точку M
проведена прямая, перпендикулярная BC
, а через точку N
— прямая перпендикулярная AB
. Эти прямые пересекаются в точке O
. Продолжение отрезка BO
пересекает сторону AC
в точке P
и делит её на отрезки AP=5
и PC=4
. Найдите длину отрезка BP
, если известно, что BC=6
.
Ответ. 5.
Указание. Докажите, что BP
— биссектриса треугольника ABC
, примените теорему о биссектрисе треугольника и формулу для квадрата биссектрисы треугольника: BP^{2}=AB\cdot BC-AP\cdot PC
.
Решение. В равнобедренном треугольнике BMN
точка O
является точкой пересечения высот. Поэтому BP
— биссектриса треугольника BMN
и треугольника ABC
. По теореме о биссектрисе треугольника AB:BC=AP:PC
, поэтому
AB=\frac{AP\cdot BC}{PC}=\frac{5\cdot6}{4}=\frac{15}{2}.
По формуле для квадрата биссектрисы треугольника (см. задачу 791)
BP^{2}=AB\cdot BC-AP\cdot PC=\frac{15}{2}\cdot6-5\cdot4=25.
Следовательно, BP=5
.
Источник: Вступительный экзамен на географический факультет МГУ. — 2000 (май), вариант 1, № 4
Источник: Вступительные экзамены и олимпиады по математике 2000—2002 гг. / Под общ. ред. И. Н. Сергеева. — М.: Изд-во ЦПИ при мехмате МГУ, 2003. — с. 202