3668. На одной стороне угла O
взяты точки K
, L
, M
, а на другой — точки P
, Q
, R
, так, что KQ\perp PR
, PL\perp KM
, LR\perp PQ
, QM\perp KL
. Отношение расстояния от центра описанной вокруг четырёхугольника KPRM
окружности до точки O
к длине отрезка KP
равно \frac{17}{6}
. Найдите величину угла O
.
Ответ. \arcsin\frac{1}{3}
.
Указание. Четырёхугольник KPRM
— равнобедренная трапеция. Используя тригонометрические соотношения в прямоугольных треугольниках, составьте уравнение относительно \alpha
.
Решение. Пусть искомый угол равен \alpha
. Из прямоугольных треугольников OMQ
, OKQ
, ORL
и OLP
находим, что
OQ=\frac{OM}{\cos\alpha},~OK=\frac{OQ}{\cos\alpha}=\frac{OM}{\cos^{2}\alpha},~OL=\frac{OR}{\cos\alpha},~OP=\frac{OL}{\cos\alpha}=\frac{OR}{\cos^{2}\alpha},
откуда \frac{OK}{OM}=\frac{OP}{OR}
, поэтому треугольники OKP
и OMR
подобны. Значит, KP\parallel MR
и вписанный четырёхугольник KPRM
— равнобедренная трапеция. Поскольку треугольники OKP
и OMR
равнобедренные, центр T
указанной окружности лежит на биссектрисе данного угла.
Обозначим KP=x
. Пусть A
— проекция точки T
на хорду PR
. Тогда A
— середина PR
, поэтому
OA=\frac{OP+OR}{2},~OP=\frac{\frac{x}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}},~OR=OP\cdot\cos^{2}\alpha=\frac{x\cos^{2}\alpha}{2\sin\frac{\alpha}{2}},
OT=OA:\cos\frac{\alpha}{2}=\frac{OP+OR}{2}:\cos\frac{\alpha}{2}=\frac{x(1+\cos^{2}\alpha)}{4\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}=\frac{x(1+\cos^{2}\alpha)}{4\sin\frac{\alpha}{2}}.
По условию задачи \frac{OT}{KP}=\frac{17}{6}
. Из уравнения \frac{1+\cos^{2}\alpha}{2\sin\frac{\alpha}{2}}=\frac{17}{6}
находим, что \sin\alpha=\frac{1}{3}
.