3670. Стороны ромба EFGH
являются гипотенузами равнобедренных прямоугольных треугольников EAF
, FDG
, GCH
, HBE
, причём все эти треугольники имеют общие внутренние точки с ромбом EFGH
. Сумма площадей четырёхугольника ABCD
и ромба EFGH
равна 12. Найдите GH
.
Ответ. 2\sqrt{3}
.
Указание. Используя симметрии полученной фигуры относительно диагоналей ромба, докажите, что четырёхугольник ABCD
— прямоугольник.
Решение. Стороны ромба, а значит, и опирающиеся на них треугольники симметричны относительно каждой диагонали ромба. Поэтому четырёхугольник ABCD
— прямоугольник. Если сторона ромба равна a
, а его острый угол равен \alpha
, то
\angle DFA=45^{\circ}+45^{\circ}-\alpha=90^{\circ}-\alpha,~\angle DCG=(180^{\circ}-\alpha)-45^{\circ}-45^{\circ}=90^{\circ}-\alpha.
Найдём стороны прямоугольника ABCD
:
AD^{2}=AF^{2}+FD^{2}-2AF\cdot FD\cdot\cos\angle DFA=
=\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^{2}+\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^{2}-2\cdot\frac{a}{\sqrt{2}}\cdot\frac{a}{\sqrt{2}}\cdot\cos(90^{\circ}-\alpha)=a^{2}(1-\sin\alpha),
CD^{2}=DG^{2}+GC^{2}-2DG\cdot GC\cdot\cos\angle DGC=
=\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^{2}+\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^{2}-2\cdot\frac{a}{\sqrt{2}}\cdot\frac{a}{\sqrt{2}}\cdot\cos(90^{\circ}-\alpha)=a^{2}(1-\sin\alpha).
Поэтому
12=S_{ABCD}+S_{EFGH}=AD\cdot CD+a^{2}\sin\alpha=a^{2}(1-\sin\alpha)+a^{2}\sin\alpha=a^{2}.
Следовательно, a=\sqrt{12}=2\sqrt{3}
.
Источник: Вступительный экзамен на географический факультет МГУ. — 2001 (июль), вариант 1, № 4
Источник: Вступительные экзамены и олимпиады по математике 2000—2002 гг. / Под общ. ред. И. Н. Сергеева. — М.: Изд-во ЦПИ при мехмате МГУ, 2003. — с. 221