3672. В треугольнике ABC
точки E
и F
являются серединами сторон AB
и BC
соответственно. Точка G
лежит на отрезке EF
так, что EG:AE=1:2
и FG=BE
. Найдите:
а) отношение площадей треугольников ABG
и AGC
;
б) \angle GCA
, если \angle AGC=90^{\circ}
.
Ответ. а) 1:3
; б) \arcsin\frac{1}{2\sqrt{2}}
.
Указание. Пусть \angle GCA=\alpha
. Применяя теорему косинусов к треугольнику AEG
, составьте уравнение относительно \sin\alpha
.
Решение. Пусть EG=x
, тогда BE=AE=2x
, GF=2x
, AC=2EF=6x
. Если расстояние между параллельными прямыми EF
и AC
равно h
, то
S_{\triangle ABG}=2S_{\triangle AEG}=2\cdot\frac{1}{2}EG\cdot h=xh,~S_{\triangle AGC}=\frac{1}{2}AC\cdot h=3xh.
Следовательно, S_{\triangle ABG}:S_{\triangle AGC}=1:3
.
Обозначим \angle GCA=\alpha
, AG=t
. Тогда \angle EGA=\angle GAC=90^{\circ}-\alpha
, t=AC\sin\alpha=6x\sin\alpha
.
Применяя теорему косинусов к треугольнику AEG
, получим уравнение
4x^{2}=x^{2}+t^{2}-2xt\cos(90^{\circ}-\alpha),
или
4x^{2}=x^{2}+36x^{2}\sin^{2}\alpha-12x^{2}\sin^{2}\alpha,
откуда находим, что \sin^{2}\alpha=\frac{1}{8}
.