3680. В четырёхугольник ABCD
вписана окружность радиуса 2. Угол \angle DAB
— прямой. Сторона AB
равна 5, сторона BC
равна 6. Найдите площадь четырёхугольника ABCD
.
Ответ. 17\frac{11}{17}
.
Указание. Найдите тригонометрические функции угла \angle ABC
; продолжите до пересечения стороны AD
и BC
.
Решение. Пусть окружность с центром O
касается сторон AB
, BC
, CD
и AD
данного четырёхугольника соответственно в точках M
, N
, K
и L
. Тогда AMOL
— квадрат. Поэтому
BN=BM=AB-AM=5-2=3,~CK=CN=BC-BN=6-3=3.
Продолжим стороны AD
и BC
до пересечения в точке Q
. Обозначим \angle OBM=\angle OBN=\alpha
, \angle AQB=\beta
. Из прямоугольного треугольника OBM
находим, что \tg\alpha=\frac{OM}{BM}=\frac{2}{3}
. Тогда
\tg\angle ABQ=\tg2\alpha=\frac{2\tg\alpha}{1-\tg^{2}\alpha}=\frac{12}{5},
\tg\beta=\tg\angle AQB=\ctg2\alpha=\frac{5}{12},~\cos\beta=\frac{12}{13},
AQ=AB\tg2\alpha=5\cdot\frac{12}{5}=12,~QL=AQ-AL=12-2=10,
BQ=\frac{AQ}{\cos\beta}=12:\frac{12}{13}=13,~CQ=BQ-BC=13-6=7.
Обозначим DK=DL=t
. Тогда CD=DK+KC=t+3
, DQ=QL-DL=10-t
.
Применим теорему косинусов к треугольнику CDQ
:
CD^{2}=DQ^{2}+CQ^{2}-2\cdot DQ\cdot CQ\cdot\cos\beta,
или
(t+3)^{2}=49+(10-t)^{2}-2\cdot7(10-t)\cdot\frac{12}{13}.
Из этого уравнения находим, что t=\frac{14}{17}
. Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{AB+BC+CK+KD+DL+AL}{2}\cdot OM=
=\frac{5+6+3+\frac{14}{17}+\frac{14}{17}+2}{2}\cdot2=\frac{300}{17}=17\frac{11}{17}.