3690. Полуокружность радиуса r
разделена точками на 3 равные части, и точки деления соединены хордами с одним и тем же концом диаметра, стягивающего эту полуокружность. Найдите площадь фигуры, ограниченной двумя хордами и заключённой между ними дугой.
Ответ. \frac{\pi r^{2}}{6}
.
Указание. Пусть CD
— диаметр, O
— середина CD
, а DA
, AB
и BC
— хорды. Тогда искомая площадь равна площади сектора AOB
,
Решение. Пусть CD
— диаметр, O
— середина CD
, а DA
, AB
и BC
— хорды. Треугольники AOD
, AOB
и BOC
— равносторонние, \angle AOD=\angle AOB=\angle BOC=60^{\circ}
, поэтому AB\parallel DC
. Значит, S_{\triangle ADB}=S_{\triangle AOB}
.
В задаче требуется найти площадь фигуры, составленной из треугольника ADB
и сегмента AB
, ограниченного дугой AB
, не содержащей точку D
.
Заметим, что сектор AOB
состоит из треугольника AOB
и этого же сегмента, следовательно, искомая площадь равна площади сектора AOB
, т. е. шестой части площади соответствующего круга. Таким образом, искомая площадь равна \frac{\pi r^{2}}{6}
.
Источник: Вступительный экзамен на филологический факультет МГУ. — 2002 (апрель), вариант 1, № 2
Источник: Вступительные экзамены и олимпиады по математике 2000—2002 гг. / Под общ. ред. И. Н. Сергеева. — М.: Изд-во ЦПИ при мехмате МГУ, 2003. — с. 283