3691. Окружность радиуса 3 проходит через середины трёх сторон треугольника ABC
, в котором углы при вершинах A
и B
равны 60^{\circ}
и 45^{\circ}
соответственно. Найдите площадь треугольника.
Ответ. 9(3+\sqrt{3})
.
Указание. Докажите, что площадь треугольника можно вычислить по формуле
S=2R^{2}\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma,
где R
— радиус описанной около треугольника окружности, \alpha
, \beta
, \gamma
— углы треугольника.
Решение. Докажем сначала, что площадь треугольника можно вычислить по формуле
S=2R^{2}\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma,
где R
— радиус описанной около треугольника окружности, \alpha
, \beta
, \gamma
— углы треугольника.
Пусть a
, b
, c
— стороны треугольника, противолежащие углам \alpha
, \beta
, \gamma
соответственно. По теореме синусов a=2R\sin\alpha
, b=2R\sin\beta
. Следовательно,
S=\frac{1}{2}ab\cdot\sin\gamma=\frac{1}{2}\cdot2R\sin\alpha\cdot2R\sin\beta\cdot\sin\gamma=S=2R^{2}\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma.
Пусть K
, L
и M
— середины сторон соответственно AB
, BC
и AC
треугольника ABC
. Тогда треугольник ABC
подобен треугольнику LMK
с коэффициентом 2. По доказанной выше формуле
S_{\triangle LKM}=2\cdot3^{2}\sin60^{\circ}\sin45^{\circ}\sin75^{\circ}=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=\frac{9(3+\sqrt{3})}{4}.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=4S_{\triangle LKM}=9(3+\sqrt{3}).
Источник: Вступительный экзамен на филологический факультет МГУ. — 2002(июль), вариант 1, № 2
Источник: Вступительные экзамены и олимпиады по математике 2000—2002 гг. / Под общ. ред. И. Н. Сергеева. — М.: Изд-во ЦПИ при мехмате МГУ, 2003. — с. 286