3692. Окружность радиуса 2 проходит через середины трёх сторон треугольника ABC
, в котором углы при вершинах A
и B
равны 30^{\circ}
и 45^{\circ}
соответственно. Найдите высоту, проведённую из вершины A
.
Ответ. 2+2\sqrt{3}
.
Указание. Пусть K
, L
и M
— середины сторон соответственно AB
, BC
и AC
треугольника ABC
. Тогда треугольник ABC
подобен треугольнику LMK
с коэффициентом 2.
Решение. Пусть K
, L
и M
— середины сторон соответственно AB
, BC
и AC
треугольника ABC
, AP
— искомая высота. Треугольник ABC
подобен треугольнику LMK
с коэффициентом 2. Если R
— радиус окружности, описанной около треугольника KLM
, то
ML=2R\sin\angle MKL=4\cdot\sin105^{\circ}=4\cdot\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=\sqrt{6}+\sqrt{2}.
Пусть LH
— высота треугольника KLM
. Из прямоугольного треугольника MHL
находим, что
LH=ML\cdot\sin\angle KML=(\sqrt{6}+\sqrt{2})\cdot\sin45^{\circ}=1+\sqrt{3}.
Следовательно, AP=2LH=2+2\sqrt{3}
.
Источник: Вступительный экзамен на филологический факультет МГУ. — 2002 (июль), вариант 2, № 2
Источник: Вступительные экзамены и олимпиады по математике 2000—2002 гг. / Под общ. ред. И. Н. Сергеева. — М.: Изд-во ЦПИ при мехмате МГУ, 2003. — с. 292