3695. На координатной плоскости (x;y)
проведена окружность радиуса 4 с центром в начале координат. Прямая, заданная уравнением y=4-(2-\sqrt{3})x
, пересекает её в точках A
и B
. Найдите сумму длин отрезка AB
и меньшей дуги AB
.
Указание. Решив систему уравнений, найдите координаты точек пересечения прямой и окружности. Затем, применив теореме косинусов, найдите угол между радиусами окружности, проведёнными в найденные точки пересечения.
Решение. Решив систему уравнений
\syst{x^{2}+y^{2}=16\\y=4-(2-\sqrt{3})x,\\}
найдём координаты точек пересечения прямой и окружности: A(0;4)
, B(2;2\sqrt{3})
. Тогда
AB=\sqrt{(0-2)^{2}+(4-2\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{32-16\sqrt{3}}=4\sqrt{2-\sqrt{3}}.
Пусть O
— начало координат. По теореме косинусов из треугольника AOB
находим, что
\cos\angle AOB=\frac{OA^{2}+OB^{2}-AB^{2}}{2OA\cdot OB}=\frac{16+16-32+16\sqrt{3}}{2\cdot4\cdot4}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Поэтому градусная мера меньшей дуги AB
равна 30^{\circ}
. Длина этой дуги равна одной двенадцатой длины окружности радиуса 4, т. е. \frac{2\pi}{3}
. Следовательно, искомая сумма равна \frac{2\pi}{3}+4\sqrt{2-\sqrt{3}}
.