3697. В остроугольном треугольнике ABC
угол \angle ACB=75^{\circ}
, а высота, опущенная из вершины этого угла, равна 1. Найдите радиус описанной окружности, если известно, что периметр треугольника ABC
равен 4+\sqrt{6}-\sqrt{2}
.
Ответ. \sqrt{6}-\sqrt{2}
.
Указание. Составьте систему трёх уравнений относительно сторон треугольника. При её решении используйте равенство \sqrt{6}-\sqrt{2}=4\cos75^{\circ}
.
Решение. Пусть CD
— высота треугольника. Обозначим AB=c
, BC=a
, AC=b
. Тогда S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CD=\frac{1}{2}c
. С другой стороны,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AC\cdot\sin\angle ACB=\frac{1}{2}ab\sin75^{\circ},
поэтому c=ab\sin75^{\circ}
.
По теореме косинусов
AB^{2}=BC^{2}+AC^{2}-2BC\cdot AC\cos\angle ACB,
или c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos75^{\circ}
.
Наконец, по условию задачи a+b+c=4+\sqrt{6}-\sqrt{2}
.
Таким образом, имеем систему
\syst{c=ab\sin75^{\circ}\\c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos75^{\circ}\\a+b+c=4+\sqrt{6}-\sqrt{2},\\}
Заметив, что \sqrt{6}-\sqrt{2}=4\cos75^{\circ}
, перепишем систему в виде
\syst{ab=\frac{c}{\sin75^{\circ}}\\c^{2}=(a+b)^{2}-2ab(1+\cos75^{\circ})\\a+b=4+4\cos75^{\circ}-c.\\}
Подставив ab
из первого уравнения и a+b
— из третьего во второе, получим уравнение относительно c
:
c^{2}=(4(1+\cos75^{\circ})-c)^{2}-\frac{2c(1+\cos75^{\circ})}{\sin75^{\circ}},
откуда находим, что
c=\frac{8(1+\cos75^{\circ})\sin75^{\circ}}{4\sin75^{\circ}+1}=\frac{8\sin75^{\circ}+4\sin150^{\circ}}{4\sin75^{\circ}+1}=\frac{8\sin75^{\circ}+2}{4\sin75^{\circ}+1}=2.
Пусть R
— искомый радиус описанной окружности данного треугольника. Тогда
R=\frac{AB}{2\sin\angle ACB}=\frac{c}{2\sin75^{\circ}}=2:\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}=\sqrt{6}-\sqrt{2}.