3701. Даны две окружности. Первая окружность вписана в треугольник ABC
, вторая касается стороны AC
и продолжений сторон AB
и BC
. Известно, что эти окружности касаются друг друга, произведение их радиусов равно 20, а угол BAC
равен \arccos\frac{2}{3}
. Найдите периметр треугольника ABC
.
Ответ. 10\sqrt{5}
.
Указание. Докажите, что данный треугольник — равнобедренный. Далее примените формулу для общей касательной двух касающихся окружностей радиусов r
и R
: l=2\sqrt{rR}
.
Решение. Пусть первая (вписанная) окружность треугольника ABC
касается сторон AB
и BC
соответственно в точках M
и P
, вторая (вневписанная) окружность касается продолжений сторон AB
и BC
соответственно в точках N
и Q
, а K
— точка касания окружностей (K
на стороне AC
). По теореме о равенстве отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки,
BN=BQ,~BM=BP,~MN=PQ,~AM=AK=AN=\frac{1}{2}MN,
CP=CK=CQ=\frac{1}{2}PQ,
поэтому AB=BN-AN=BQ-CQ=BC
, т. е. треугольник ABC
— равнобедренный. Его медиана BK
является высотой.
Пусть r
и R
— радиусы соответственно первой и второй окружностей. Тогда (см. задачу 365)
AC=MN=PQ=2\sqrt{rR}=2\sqrt{20}=4\sqrt{5},AK=\frac{1}{2}\cdot AC=2\sqrt{5}.
Из прямоугольного треугольника BAK
находим, что
AB=\frac{AK}{\cos\angle BAC}=\frac{2\sqrt{5}}{\frac{2}{3}}=3\sqrt{5}.
Следовательно,
AB+BC+AC=3\sqrt{5}+3\sqrt{5}+4\sqrt{5}=10\sqrt{5}.