3704. Биссектриса угла A
треугольника ABC
пересекает сторону BC
в точке D
. Окружность радиуса 35, центр которой лежит на прямой BC
, проходит через точки A
и D
. Известно, что AB^{2}-AC^{2}=216
, а площадь треугольника ABC
равна 90\sqrt{3}
. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC
.
Ответ. 7\sqrt{3}
.
Решение. Пусть BC=a
, AC=b
, AB=c
, \angle BAD=\angle CAD=\alpha
, \angle ADC=\beta
, а радиус данной окружности равен r
. Заметим, что \beta\gt\alpha
(как внешний угол треугольника ADC
).
Из условия задачи следует, что c\gt b
, поэтому
\angle ABC\lt\angle ACB,~\mbox{или}~\beta-\alpha\lt180^{\circ}-\alpha-\beta,
откуда получаем, что \beta\lt90^{\circ}
. Поскольку центр O
окружности лежит на серединном перпендикуляре к хорде AD
, то точка O
лежит на луче DC
.
Треугольник AOD
— равнобедренный, поэтому \angle OAD=\angle ODA=\beta
, а так как \beta\gt\alpha
, то точка C
лежит между D
и O
. Тогда \angle CAO=\beta-\alpha
. Отсюда следует, что треугольники ABO
и CAO
подобны по двум углам. Значит,
\frac{BO}{AO}=\frac{AO}{CO},~\mbox{или}~\frac{r+BD}{r}=\frac{r}{r-CD}.
Поскольку AD
— биссектриса треугольника ABC
, то \frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}
. Отсюда находим, что
BD=\frac{ac}{b+c},~CD=\frac{ab}{b+c}.
Подставив найденные выражения в равенство \frac{r+BD}{r}=\frac{r}{r-CD}
, получим:
\left(r+\frac{ac}{b+c}\right)\left(r-\frac{ab}{b+c}\right)=r^{2},~\mbox{или}~r(c^{2}-b^{2})=abc.
Пусть R
— искомый радиус окружности, описанной около треугольника ABC
, S
— площадь треугольника ABC
. Тогда
R=\frac{abc}{4S}=\frac{r(c^{2}-b^{2})}{4S}=\frac{35\cdot216}{4\cdot90\sqrt{3}}=7\sqrt{3}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет вычислительной математики и кибернетики (ВМК) МГУ. — 2002 (июль), вариант 1, № 6
Источник: Математика. Задачи вступительных экзаменов с ответами и решениями / Сост. Е. А. Григорьев. — М.: УНЦ ДО, 2004. — с. 22