3706. В равнобедренном треугольнике ABC
(AB=BC
) отношение расстояний от центра вписанной в треугольник ABC
окружности до вершин углов B
и C
соответственно равно k
. Найдите углы треугольника ABC
. Каковы возможные значения k
?
Ответ. \angle A=\angle C=2\arcsin\frac{\sqrt{8k^{2}+1}-1}{4k}
, \angle B=\pi-2\angle A
, k\gt0
.
Указание. Пусть O
— центр окружности, вписанной в треугольник ABC
. Обозначьте \angle BAC=\alpha
, выразите через \alpha
углы треугольника BOC
и примените к нему теорему синусов.
Решение. Пусть O
— центр окружности, вписанной в треугольник ABC
. Обозначим \angle BAC=\angle BCA=\alpha
, OC=x
. Тогда
OB=kx,~\angle BCO=\frac{\alpha}{2},~\angle OBC=90^{\circ}-\alpha
(так как O
— точка пересечения биссектрис треугольника ABC
).
Применяя теорему синусов к треугольнику BOC
, получим равенство
\frac{BO}{\sin\frac{\alpha}{2}}=\frac{OC}{\sin(90^{\circ}-\alpha)},~\mbox{или}~\frac{kx}{\sin\frac{\alpha}{2}}=\frac{x}{\cos\alpha},~\mbox{или}~k\cos\alpha=\sin\frac{\alpha}{2}.
Последнее уравнение можно привести к виду
2k\sin^{2}\frac{\alpha}{2}+\sin\frac{\alpha}{2}-k=0.
Поскольку 0\lt\alpha\lt90^{\circ}
, то 0\lt\frac{\alpha}{2}\lt45^{\circ}
, поэтому 0\lt\sin\frac{\alpha}{2}\lt\frac{\sqrt{2}}{2}
.
Таким образом, нас устраивает только такой корень квадратного уравнения kt^{2}+t-k=0
, который удовлетворяет условию 0\lt t\lt\frac{\sqrt{2}}{2}
, т. е. t=\frac{\sqrt{1+8k^{2}}-1}{4k}
.
Действительно, так как k\gt0
, осталось проверить, что
\frac{\sqrt{1+8k^{2}}-1}{4k}\lt\frac{\sqrt{2}}{2},~\mbox{т. е.}~\sqrt{1+8k^{2}}\lt2k\sqrt{2}+1,
что равносильно неравенству 1+8k^{2}\lt8k^{2}+4k\sqrt{2}+1
, или k\gt0
.
Следовательно,
\angle BAC=\angle ACB=\alpha=2\arcsin\frac{\sqrt{8k^{2}+1}-1}{4k},
\angle ABC=180^{\circ}-2\alpha=180^{\circ}-4\arcsin\frac{\sqrt{8k^{2}+1}-1}{4k}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет вычислительной математики и кибернетики (ВМК) МГУ. — 2003 (апрель), вариант 1, № 2
Источник: Математика. Задачи вступительных экзаменов с ответами и решениями / Сост. Е. А. Григорьев. — М.: УНЦ ДО, 2004. — с. 23