3717. В треугольнике KMN
известны \sin\angle KNM=\frac{\sqrt{3}}{2}
и \cos\angle KMN=\frac{1}{3}
. Найдите отношение длин высот, опущенных соответственно из вершины N
на сторону MK
и из вершины M
на сторону NK
.
Ответ. \frac{4\sqrt{6}}{9}
.
Указание. Из прямоугольных треугольников MAN
и NBM
выразите высоты MA
и NB
треугольника KMN
через сторону MN
.
Решение. Поскольку \cos\angle KMN=\frac{1}{3}
и \angle KMN
— угол треугольника, то \sin\angle KMN=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}
.
Пусть MA
и NB
— указанные высоты треугольника ABC
. Из прямоугольных треугольников MAN
и NBM
находим, что
AM=MN\cdot\sin\angle ANM=MN\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}~\mbox{и}~BN=MN\cdot\sin\angle KMN=MN\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}.
Следовательно,
\frac{BN}{AM}=\frac{MN\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}}{MN\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4\sqrt{6}}{9}.