3719. В трапецию с основаниями 3 и 5 можно вписать окружность и около неё можно описать окружность. Вычислите площадь пятиугольника, образованного радиусами вписанной окружности, перпендикулярными боковым сторонам трапеции, её меньшим основанием и соответствующими отрезками боковых сторон.
Ответ. \frac{3}{2}\sqrt{15}
.
Указание. Поскольку около трапеции можно описать окружность, то трапеция — равнобедренная, а так как в трапецию вписана окружность, то боковая сторона видна из центра этой окружности под прямым углом.
Решение. Поскольку около трапеции можно описать окружность, то трапеция — равнобедренная. Пусть окружность с центром O
касается боковых сторон AB
и CD
трапеции ABCD
соответственно в точках M
и N
, а оснований BC=3
и AD=5
— соответственно в точках K
и L
. Тогда
BM=BK=KC=\frac{1}{2}BC=\frac{3}{2},~AM=AL=LD=\frac{1}{2}AD=\frac{5}{2}.
Поскольку AO
и BO
— биссектрисы углов, сумма которых равна 180^{\circ}
, то \angle AOB=90^{\circ}
. Радиус OM
— высота прямоугольного треугольника AOB
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
OM=\sqrt{AM\cdot BM}=\sqrt{\frac{3}{2}\cdot\frac{5}{2}}=\frac{\sqrt{15}}{2}.
Прямоугольный треугольник OKB
равен треугольнику OKC
, следовательно,
S_{MBCN}=2\cdot S_{\triangle BOC}=2\cdot\frac{1}{2}\cdot BC\cdot OK=3\cdot\frac{\sqrt{15}}{2}=\frac{3}{2}\sqrt{15}.