3721. Окружность, проходящая через вершину A
треугольника ABC
, касается стороны BC
в точке M
и пересекает стороны AC
и AB
соответственно в точках L
и K
, отличных от вершины A
. Найдите отношение AC:AB
, если известно, что длина отрезка LC
в два раза больше длины отрезка KB
, а CM:BM=3:2
.
Ответ. 9:8
.
Указание. Примените теорему о касательной и секущей.
Решение. По теореме о касательной и секущей
CM^{2}=CL\cdot AC~\mbox{и}~BM^{2}=BK\cdot AB,
поэтому
\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{CM^{2}}{BM^{2}}=\frac{CL\cdot AC}{BK\cdot AB}=\frac{CL}{BK}\cdot\frac{AC}{AB}=2\cdot\frac{AC}{AB}.
Следовательно, \frac{AC}{AB}=\frac{9}{8}
.
Источник: Вступительный экзамен на геологический факультет МГУ. — 2001 (май), вариант 1, № 5
Источник: Математика. Задачи вступительных экзаменов с ответами и решениями / Сост. Е. А. Григорьев. — М.: УНЦ ДО, 2004. — с. 40