3723. Прямая, проходящая через вершину основания равнобедренного треугольника, делит его площадь пополам, а периметр треугольника делит на части длиной 5 и 7. Найдите площадь треугольника и укажите, где лежит центр описанной окружности: внутри или вне треугольника.
Ответ. а) \frac{16}{3}
, центр вне треугольника;
б) \frac{8\sqrt{5}}{3}
, центр внутри треугольника.
Указание. В каждом из двух возможных случаев найдите косинус угла при вершине треугольника.
Решение. Пусть указанная прямая пересекает боковую сторону BC
треугольника ABC
в точке M
. Из равенства площадей следует, что M
— середина BC
. Пусть AC
— основание треугольника ABC
. Обозначим AC=a
, AB=BC=2b
. По условию задачи либо 2b+b=5
и a+b=7
, либо 2b+b=7
и a+b=5
.
В первом случае b=\frac{5}{3}
, a=\frac{16}{3}
. Такой треугольник существует, так как AB+BC=\frac{10}{3}+\frac{10}{3}=\frac{20}{3}\gt\frac{16}{3}=AC
.
Применяя теорему косинусов, находим, что
\cos\angle ABC=\frac{AB^{2}+BC^{2}-AC^{2}}{2\cdot AB\cdot BC}=-\frac{7}{25}\lt0.
Поэтому угол ABC
— тупой, и центр описанной около треугольника ABC
окружности расположен вне треугольника.
Теперь найдём площадь треугольника:
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot\sin\angle ABC=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{10}{3}\right)^{2}\cdot\sqrt{1-\left(\frac{7}{25}\right)^{2}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{100}{9}\cdot\frac{24}{25}=\frac{16}{3}.
Во втором случае b=\frac{7}{3}
, a=\frac{8}{3}
(такой треугольник также существует), \cos\angle ABC=\frac{41}{49}\gt0
, поэтому угол ABC
— острый, и центр описанной около треугольника ABC
окружности расположен внутри треугольника. Наконец,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot\sin\angle ABC=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{14}{3}\right)^{2}\cdot\sqrt{1-\left(\frac{41}{49}\right)^{2}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{196}{9}\cdot\frac{12\sqrt{5}}{49}=\frac{8\sqrt{5}}{3}.