3729. Окружность пересекает стороны угла BAC
в точках B
, N
, M
и C
, точка N
находится между A
и B
, точка M
— между A
и C
. Величины углов ACB
и BMC
равны \frac{\pi}{3}
и \frac{\pi}{4}
соответственно, BN=2MN
. Чему равна величина угла BAC
?
Ответ. \angle BAC=\frac{\pi}{4}-\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}=\arctg\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi}{12}
.
Указание. Примените теоремы косинусов и синусов к треугольнику BMN
.
Решение. Обозначим MN=x
, BN=2x
, \angle ABM=\beta
.
Поскольку четырёхугольник BCMN
вписан в окружность, то
\angle BNM=\pi-\angle BCM=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}.
Применяя теоремы косинусов и синусов к треугольнику BMN
, получим:
BM=\sqrt{BN^{2}+MN^{2}-2\cdot BN\cdot MN\cdot\cos\angle BNM}=
=\sqrt{4x^{2}+x^{2}-2\cdot2x\cdot x\cdot\cos\frac{2\pi}{3}}=x\sqrt{7},
\frac{MN}{\sin\beta}=\frac{BM}{\sin\frac{2\pi}{3}},
откуда находим, что
\sin\beta=\frac{MN}{BM}\cdot\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}.
Поскольку \beta\lt\frac{\pi}{2}
(в треугольнике MBN
есть тупой угол MNB
), то \beta=\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}
. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle BAC=\angle BMC-\angle ABM=\frac{\pi}{4}-\beta=\frac{\pi}{4}-\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}.
Источник: Вступительный экзамен на геологический факультет МГУ. — 2003 (май), вариант 1, № 5
Источник: Математика. Задачи вступительных экзаменов с ответами и решениями / Сост. Е. А. Григорьев. — М.: УНЦ ДО, 2004. — с. 49