3731. Прямоугольный треугольник ABC
вписан в окружность. Из вершины C
прямого угла проведена хорда CM
, пересекающая гипотенузу в точке K
. Найдите площадь треугольника ABM
, если AK:AB=1:4
, BC=\sqrt{2}
, AC=2
.
Ответ. \frac{9}{19}\sqrt{2}
.
Указание. Примените теорему о произведениях отрезков пересекающихся хорд.
Решение. Обозначим \angle ABC=\beta
. Из прямоугольного треугольника ABC
находим, что
AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{4+2}=\sqrt{6},~\cos\beta=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Тогда BK=\frac{3}{4}AB=\frac{3}{4}\sqrt{6}
.
По теореме косинусов из треугольника BKC
находим, что
CK=\sqrt{BC^{2}+BK^{2}-2\cdot BC\cdot BK\cos\beta}=
=\sqrt{2+\frac{27}{8}-2\cdot\sqrt{2}\cdot\frac{3}{4}\sqrt{6}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}}=\sqrt{\frac{19}{8}}.
По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд CK\cdot KM=AK\cdot KB
, откуда находим, что
KM=\frac{AK\cdot KB}{CK}=\frac{\frac{\sqrt{6}}{4}\cdot\frac{3\sqrt{6}}{4}}{\sqrt{\frac{19}{8}}}=\frac{9\sqrt{2}}{4\sqrt{19}}.
Треугольники ABC
и AMB
имеют общее основание AB
, поэтому их площади относятся как высоты, опущенных из вершин C
и M
. Отношение же указанных высот равно отношению отрезков CK
и KM
. Следовательно,
S_{\triangle ABM}=\frac{KM}{CK}\cdot S_{\triangle ABC}=\frac{\frac{9\sqrt{2}}{4\sqrt{19}}}{\sqrt{\frac{19}{8}}}\cdot\frac{1}{2}\cdot2\cdot\sqrt{2}=\frac{9}{19}\sqrt{2}.