3733. В трапеции ABCD
(AB\parallel CD
) диагонали AC=a
, BD=\frac{7}{5}a
. Найдите площадь трапеции, если \angle CAB=2\angle DBA
.
Ответ. \frac{42\sqrt{51}}{625}a^{2}
.
Указание. Через вершину C
проведём прямую, параллельную диагонали BD
, до пересечения с продолжением основания AB
в точке E
. Тогда треугольник ACE
равновелик данной трапеции.
Решение. Обозначим \angle ABD=\alpha
. Тогда \angle CAB=2\alpha
. Через вершину C
проведём прямую, параллельную диагонали BD
, до пересечения с продолжением основания AB
в точке E
. Тогда
\angle AEC=\angle ABD=\alpha,~CE=BD=\frac{7}{5}a.
Применяя теорему синусов к треугольнику ACE
, получим, что
\frac{CE}{\sin\angle CAE}=\frac{AC}{\sin\angle AEC},~\mbox{или}~\frac{\frac{7}{5}a}{\sin2\alpha}=\frac{a}{\sin\alpha},
или 7\sin\alpha=5\sin2\alpha
. Поскольку \sin\alpha\ne0
, то из этого уравнения находим, что \cos\alpha=\frac{7}{10}
. Тогда \sin\alpha=\frac{\sqrt{51}}{10}
. Поэтому
\sin3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^{3}\alpha=\frac{12\sqrt{51}}{125}.
Следовательно,
S_{ABCD}=S_{\triangle ACE}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot CE\sin(180^{\circ}-3\alpha)=\frac{1}{2}\cdot a\cdot\frac{7}{5}a\cdot\sin3\alpha=\frac{42\sqrt{51}}{625}a^{2}.