3735. В параллелограмме ABCD
(AB\parallel CD
) диагонали AC=c
, BD=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}c
. Найдите площадь параллелограмма, если \angle CAB=60^{\circ}
.
Ответ. S=\frac{c^{2}}{8}(3+\sqrt{3})
.
Указание. Примените теорему синусов к треугольнику COD
(O
— точка пересечения диагоналей параллелограмма) и воспользуйтесь формулой
S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD\cdot\sin\angle COD.
Решение. Пусть диагонали параллелограмма пересекаются в точке O
. Обозначим \angle COD=\alpha
. Рассмотрим треугольник COD
. В нём
\angle OCD=\angle CAB=60^{\circ},~\angle COD=\alpha,~\angle ODC=120^{\circ}-\alpha,
OC=\frac{1}{2}AC=\frac{c}{2},~OD=\frac{1}{2}BD=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}c.
По теореме синусов
\frac{OD}{\sin60^{\circ}}=\frac{OC}{\sin(120^{\circ}-\alpha)},~\mbox{или}~\frac{\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}c}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\frac{c}{2}}{\sin(120^{\circ}-\alpha)},
откуда находим, что \sin(120^{\circ}-\alpha)=\frac{\sqrt{2}}{2}
.
Ясно, что 120^{\circ}-\alpha\ne135^{\circ}
, значит, 120^{\circ}-\alpha=45^{\circ}
. Тогда \alpha=120^{\circ}-45^{\circ}=75^{\circ}
.
Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD\cdot\sin\alpha=\frac{1}{2}\cdot c\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}c\cdot\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=\frac{c^{2}}{8}(3+\sqrt{3}).
Источник: Вступительный экзамен на экономический факультет МГУ. — 1999 (отделение менеджмента), вариант 1, № 3
Источник: Математика. Задачи вступительных экзаменов с ответами и решениями / Сост. Е. А. Григорьев. — М.: УНЦ ДО, 2004. — с. 63