3737. Точка Q
расположена на стороне MN
треугольника LMN
так, что NQ:QM=1:2
. При повороте этого треугольника на некоторый угол вокруг точки Q
вершина L
переходит в вершину N
, а вершина M
— в точку P
, лежащую на продолжении стороны LM
за точку L
. Найдите углы треугольника LMN
.
Ответ. 120^{\circ}
, 30^{\circ}
, 30^{\circ}
.
Указание. Используя подобие треугольников NQL
, NLM
и PQM
, докажите, что треугольник QLM
— прямоугольный.
Решение. Обозначим NQ=QL=x
. Тогда QM=QP=2x
. Заметим, что \angle NQL=\angle PQM
(угол поворота), поэтому \angle QNL=\angle QPM
. Тогда треугольник NLM
подобен треугольнику PQM
, а значит, и треугольнику NQL
. Из равенства отношений \frac{NL}{LQ}=\frac{MN}{NL}
(отношение основания к боковой стороне в подобных равнобедренных треугольниках NQL
и NLM
) следует, что
NL^{2}=LQ\cdot MN=x\cdot3x=3x^{2},~NL=x\sqrt{3}.
Таким образом, стороны треугольника QLM
равны QL=x
, QM=2x
и LM=NL=x\sqrt{3}
. Следовательно, этот треугольник — прямоугольный. Его углы равны
\angle QLM=90^{\circ},~\angle QML=30^{\circ},~\angle LQM=60^{\circ}.
а углы треугольника LMN
равны 120^{\circ}
, 30^{\circ}
, 30^{\circ}
.