3741. На координатной плоскости заданы точки A(0;2)
, B(1;7)
, C(10;7)
и D(7;1)
. Найдите площадь пятиугольника ABCDE
, где E
— точка пересечения прямых AC
и BD
.
Ответ. 36.
Указание. Если y_{1}\ne y_{2}
и x_{1}\ne x_{2}
, то уравнение прямой, проходящей через точки (x_{1};y_{1})
и (x_{2};y_{2})
, имеет вид
\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}
Решение. Известно, что если y_{1}\ne y_{2}
и x_{1}\ne x_{2}
, то уравнение прямой, проходящей через точки (x_{1};y_{1})
и (x_{2};y_{2})
, имеет вид
\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}
Тогда уравнение прямой, проходящей через точки A(0;2)
и C(10;7)
таково:
\frac{y-7}{2-7}=\frac{x-10}{0-10},~\mbox{или}~y=\frac{1}{2}x+2,
а уравнение прямой, проходящей через точки B(1;7)
и D(7;1)
—
\frac{y-1}{7-1}=\frac{x-7}{1-7},~\mbox{или}~y=-x+8.
Координаты точки пересечения прямых AC
и BD
— это решение системы
\syst{y=\frac{1}{2}x+2\\y=-x+8,\\}
т. е. x=4
, y=4
. Таким образом, E=E(4;4)
.
Заметим, что
S_{ABCDE}=S_{\triangle BAC}+S_{\triangle BDC}-S_{\triangle BEC}.
Треугольники BAC
, BDC
и BEC
имеют общее основание BC
и высоты h_{A}=7-2=5
, h_{D}=7-1=6
и h_{E}=7-4=3
. Следовательно,
S_{ABCDE}=\frac{1}{2}\cdot(h_{A}+h_{D}-h_{E})\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot(5+6-3)\cdot9=36.
Источник: Вступительный экзамен на экономический факультет МГУ. — 2001 (отделение экономики), вариант 1, № 3
Источник: Математика. Задачи вступительных экзаменов с ответами и решениями / Сост. Е. А. Григорьев. — М.: УНЦ ДО, 2004. — с. 57